Notación Científica: _{Trabajar con órdenes de magnitud}

Números y sistemas de numeración

Un número es un ^ ~ concepto abstracto de una cantidad o medida, por ejemplo, dos o tres. Sin embargo, un número es un símbolo que representa un número, como el símbolo "2" o "3". El conjunto de símbolos y reglas que gobiernan cómo se representan los números se llama sistema de numeración. Muchos de los primeros sistemas de numeración se basaban en los valores que representaban los símbolos y, para hacer números más grandes, los símbolos se escribían en orden y sus valores se sumaban. Por ejemplo, en el sistema de numeración egipcio, el símbolo | representa el número uno, y || representa "1 + 1" o dos. ||| representa tres, y así sucesivamente (consulte la Figura 1 para ver un ejemplo). El problema con este sistema es que los números se volvieron extremadamente largos. Esto se solucionó parcialmente dando nuevos símbolos a cada nueva potencia de diez, por ejemplo, diez se denotó como ∩. Pero esto no resolvió completamente el problema, ya que 99 se ve así en símbolos egipcios:

A diferencia del sistema egipcio, nuestro moderno sistema de numeración se denomina sistema de valor posicional. Se utilizan diez símbolos únicos para indicar cantidades entre cero y nueve, y la posición de un símbolo en particular representa el valor de una potencia particular de diez. Por ejemplo, el número "1" representa diferentes valores en función de su posición dentro del número. El número "11" representa el número once, no el número dos como lo haría en el sistema egipcio, porque hay un "1" en lugar de diez y un "1" en lugar de uno. Entonces diez más uno es igual a once. Una característica que nuestro sistema tiene en común con el sistema egipcio es que aún sumamos los valores en cada posición para obtener nuestro número final. Echemos un vistazo al número 2.576. Si expandimos este número, podemos mostrar el valor de cada dígito según su posición y cómo determinaríamos su valor. El número 2576 se puede escribir en notación expandida como:

Observe que cada uno de los números se multiplica por una potencia de diez. Por ejemplo, cinco se multiplica por el número 100. Dado que 100 es un múltiplo de diez, se puede escribir como 10 x 10 o 10 ² . 1000 también es un múltiplo de diez y se puede escribir como 10 x 10 x 10 o 10 ³ . Usando estas potencias de diez, podemos reescribir la notación expandida para resaltar esa característica:

Escribiéndolo así, puede ver que el exponente denota la posición del numeral. Y la posición de cada numeral es importante ya que nos dice el valor, o potencia de diez, que debe incluirse en la suma total del número. Ser capaz de expresar un número usando potencias de diez es importante para comprender el orden de magnitud; por ejemplo, observe la tabla a continuación.

Historia de nuestro sistema de numeración

¿Dónde se originó nuestro sistema de numeración? Nuestro sistema de numeración de base diez comenzó con símbolos que se originaron en la India. Estos símbolos viajaron con comerciantes indios al pueblo árabe e islámico, y finalmente emigraron a Europa. Los símbolos evolucionaron con el tiempo a medida que fueron utilizados por varias civilizaciones. Abu'l Hasan Ahmad ibu Ibrahim al-Uqlidisi fue el primer matemático en usar este tipo de sistema en un documento con fecha de 953. En este documento, discutió y escribió números en la forma de valor posicional de base diez similar a la que usamos hoy. . Debido a que nuestro sistema fue influenciado por los desarrollos de los indios y los árabes, se le llama sistema hindú-árabe. (Consulte la Figura 2 para ver un ejemplo de la evolución de los números).

Notación científica

Si bien nuestro moderno sistema de numeración hace que sea más fácil escribir números grandes que el sistema egipcio, escribir números muy grandes y muy pequeños puede resultar engorroso, por lo que los científicos utilizan la notación científica como una forma de escribir números muy grandes o muy pequeños en una una forma mucho más concisa que facilita el trabajo con estos números. Por ejemplo, la Tierra tiene una superficie de 169,900,000 millas cuadradas y la población mundial es de aproximadamente 7,403,000,000. ¿Qué pasaría si tuviera que dividir estos dos números para averiguar cuántas personas por milla cuadrada hay en la tierra? Estos números gigantes pueden ser engorrosos de dividir. En cambio, podríamos expresarlos en notación científica como 1.699 x 10 ⁸ y 7.403 x 10 ⁹ . ¿Cómo convertimos estos números y por qué es más fácil ^ ~ trabajar con ellos en notación científica? Veamos de dónde vino la notación científica para comprender su uso.

La notación científica se deriva naturalmente de nuestro sistema de base diez como una forma abreviada de escribir números muy grandes o muy pequeños. La notación científica tiene dos partes. Mirando un ejemplo, 1.6 x 10 ⁸ , podemos ver que la primera parte es un número decimal mayor o igual a uno, pero menor que diez (en este caso, 1.6). La segunda parte es un múltiplo de diez expresado mediante un exponente (aquí, 10 ⁸ ).

La notación que usamos hoy para denotar un exponente fue utilizada por primera vez por el matemático escocés James Hume en 1636. Sin embargo, usó números romanos para los exponentes. El uso de números romanos como exponentes se volvió problemático ya que muchos de los exponentes se volvieron muy grandes, por lo que la notación de Hume no duró mucho. Un año más tarde, en 1637, René Descartes se convirtió en el primer matemático en utilizar los números arábigos hindúes de hoy como exponentes. El exponente se usa como una forma abreviada de indicar cuántas veces se debe multiplicar un número por sí mismo, por lo que 10 ³ es igual a 10 x 10 x 10 y 2 ⁴ es igual a 2 x 2 x 2 x 2.

En notación científica también usamos un número decimal. El matemático flamenco Simon Stevin (Figura 3) utilizó por primera vez un punto decimal para representar una fracción con un denominador de diez en 1585. Si bien los árabes y los chinos habían utilizado los decimales mucho antes de esta época, a Stevin se le atribuye la popularización de su uso Europa. Una traducción al inglés de la obra de Stevin ^ ~ se publicó en 1608 y se tituló Disme, The Arts of Tenths or Decimal Arithmetike , e inspiró al presidente Thomas Jefferson a proponer una moneda de base decimal para los Estados Unidos. (Por ejemplo, una décima parte de un dólar se llama moneda de diez centavos).

Si bien podemos rastrear la historia de los componentes (decimales y exponentes) de la notación científica, es difícil determinar quién utilizó por primera vez el término notación científica. De hecho, no fue hasta 1961 que el término se pudo encontrar en un diccionario que indica que estaba siendo ampliamente utilizado. Aunque es difícil precisar el origen exacto de la frase, a menudo se cree que comenzó con los científicos informáticos. En la década de 1940, Konrad Zuse introdujo un concepto al que se refirió como el "punto flotante". El punto flotante de Zuse era un método para representar cualquier número como un decimal mayor o igual a uno pero menor que diez, multiplicado por un número elevado a una potencia. Esta notación facilitó la representación y la realización de cálculos con números grandes y pequeños en el código binario utilizado por las computadoras, incluso teniendo en cuenta su limitado poder de cómputo en ese momento. Durante las siguientes dos décadas, el término notación científica a menudo se refiere a un número expresado como decimal (descrito anteriormente) multiplicado por cualquier segundo número elevado a una potencia. Por ejemplo, 2,45 x 2 ³ se habría descrito como notación científica en la década de 1960 o antes. Hoy en día, solo usamos el término notación científica cuando el segundo número es el 10 elevado a una potencia, como en 2,45 x 10 ³ .

Cómo escribir un número en notación científica

¿Sabías que la Tierra tiene 4.543.000.000 de años o que un átomo de carbono pesa solo 0,0000000000000000000000199265 gramos? ¡Esos son números realmente grandes y pequeños! Si tuvo que escribirlos varias veces, o peor aún, usarlos para calcular algo, es posible que tenga dificultades para mantenerse al día con todos esos ceros. Para ayudar a simplificar estos números y facilitar ^ ~ trabajar con ellos, podemos expresarlos usando notación científica.

Considere la edad de la Tierra, 4.543.000.000 años. Para reescribir 4.543.000.000 años en notación científica debemos expresarlo como un decimal entre uno y diez. Para hacer eso, lo dividimos por 1,000,000,000 dándonos 4.543 años. Pero la edad de la tierra no es de 4.543 años. Entonces, para expresar este número correctamente, debemos demostrar que debe multiplicarse por 1,000,000,000. Entonces podemos escribir esto como 4.543 veces 1,000,000,000. Pero esto se puede acortar aún más porque 1,000,000,000 es igual a 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 que se puede expresar como 10 ⁹ . Entonces podemos escribir la edad de la tierra en notación científica como 4.543 x 10 ⁹ años.

La Tabla 3 muestra cómo algunos números grandes y pequeños se expresan en términos de potencias de diez.

Como puede ver en la tabla, cuando el exponente del número diez es un número negativo, podemos pensar en esto como una multiplicación por 1/10. Por ejemplo, 10 ^-4 es lo mismo que multiplicar por lo siguiente:

Este número se puede escribir de diferentes formas, como:

La conclusión es que los exponentes negativos se utilizan para expresar números muy pequeños en notación científica.

Pensemos en el ^ ~ peso de nuestro átomo de carbono, 0,0000000000000000000000199265 gramos. Para expresar el ^ ~ peso del átomo de carbono como un número decimal mayor o igual a uno e inferior a diez, tendríamos que multiplicar por 100.000.000.000.000.000.000.000, o 10 ²³ . Esto nos daría un número decimal de 1.99265, pero luego tenemos que agregar el factor para mostrar cómo se expresa realmente el número. Para revertir este proceso y devolver el átomo a su ^ ~ peso original tendríamos que dividir por 10 ²³ . Entonces, el peso original ^ ~ de un átomo de carbono se puede escribir como:

Esta representación está muy cerca de la notación científica, pero la notación científica siempre se escribe usando multiplicación, no división. Entonces podemos reescribirlo como:

Finalmente, expresamos la potencia de diez con un exponente negativo y la colocamos en el numerador:

Ahora tenemos el ^ ~ peso de un átomo escrito correctamente en notación científica.

Notación científica y lugar decimal

Un método más rápido para reescribir un número en notación científica es pensar cuántas veces se tendría que mover el punto decimal. Por ejemplo, en nuestro ejemplo de la era de la Tierra, para expresar 4,543,000,000 como un número mayor que uno y menor que diez, simplemente podemos mover el decimal.

En este caso, movimos nuestro decimal nueve lugares a la izquierda para obtener el número 4.543. Cada desplazamiento del decimal representa la división del número por diez. Para devolver el número a su forma original debemos hacer lo contrario, multiplicar por nueve decenas. Por lo tanto, para expresar el número en notación científica, usaríamos un exponente nueve positivo, lo que nos da la misma respuesta que antes: 4.543 x 10 ⁹ . Para convertir un número con un exponente positivo hacia atrás, movería el decimal hacia la derecha el mismo número de lugares que indica el exponente. Por ejemplo, 3,79 x 10 ⁵ :

Podemos usar un proceso similar pero opuesto para escribir números muy pequeños en notación científica. Volvamos al átomo de carbono que pesaba 0,0000000000000000000000199265 gramos. Para comenzar el proceso, debemos mover nuestro decimal 23 veces hacia la derecha.

Dado que nos movemos hacia la derecha, multiplicamos 0,0000000000000000000000199265 por 10 veintitrés veces. Para devolver el número a su forma original, debemos invertir el proceso y dividir por 10 veintitrés veces. Dado que multiplicar por un exponente negativo es lo mismo que dividir un número, el peso original ^ ~ de un átomo de carbono se puede escribir como 1,99265 x 10 ^-23 gramos.

Observe que cuando movió el decimal a la izquierda, hizo que el número con el que comenzara fuera más pequeño. Para devolverlo a su tamaño original, tuvo que multiplicar por un montón de decenas. Esto ^ ~ significa que el exponente de la decena tenía que ser positivo. Cuando movió el decimal a la derecha, sucedió lo contrario. Hiciste el número original mucho más grande, así que para devolverlo a su pequeño tamaño original, tuviste que dividir por un montón de decenas, haciendo que el exponente de diez sea negativo.

Órdenes de magnitud

Los científicos describen la magnitud o el tamaño de los números usando algo llamado orden de magnitud. Podemos pensar que el orden de magnitud ^ ~ significa la potencia de diez más cercana a una cantidad dada. Por ejemplo, a menudo escuchamos que hay mil millones de personas en China. Este no es el número exacto de personas en China. Es solo una aproximación de orden de magnitud. Dado que 1,000,000,000 se puede escribir como 10 ⁹ , podemos decir que la población ^ ~ de China tiene un orden de magnitud de nueve. Podemos encontrar un orden de magnitud simplemente escribiendo un número en notación científica.

División de números en notación científica

Los científicos suelen utilizar el orden de magnitud para comparar los tamaños o distancias de los elementos. Los órdenes de magnitud nos brindan un método rápido para determinar la relación entre dos cantidades. Pero para hacer esto, necesitamos poder dividir números escritos en notación científica. Por ejemplo, la distancia de la Tierra al Sol es 93,000,000 millas = 9.3 x 10 ⁷ millas. Sin embargo, la distancia a la siguiente estrella más cercana, Proxima Centauri, es de aproximadamente 2.522 x 10 ¹³ millas. ¿Cuántas veces mayor es la distancia de Proxima Centauri a la Tierra que la distancia de la Tierra al Sol?

Para resolver este problema, necesitamos dividir las dos distancias.

Observe que cuando divide potencias de diez, el resultado neto es que los exponentes se restan entre sí:

De manera similar, cuando multiplica las potencias de diez, el resultado neto es sumar los exponentes. Ahora volvamos a nuestro ejemplo. Dado que el exponente de diez es seis, es tentador decir que los dos números difieren en una magnitud de seis, pero esto no es correcto. La convención es informar la respuesta en notación científica. La respuesta 0,2712 x 10 ⁶ no está en forma correcta, ya que 0,2712 no se expresa como un número al menos uno, pero menos de diez. Para convertir esto en notación científica, debes mover el decimal un lugar a la derecha, que es lo mismo que multiplicar el número por diez. Para compensar esto, tendría que reducir el exponente en un dígito, lo que equivale a dividir por diez, y llegar a la misma respuesta 2,712 x 10 ⁵ . Ahora podemos informar correctamente que las dos distancias difieren en una magnitud de cinco. Dado que 1 x 10 ⁵ es igual a 10,000, podemos decir que Proxima Centauri está 10,000 veces más lejos de la Tierra que el Sol.

p> Vemos comparaciones de orden de magnitud que a menudo surgen en química cuando se discuten las concentraciones de sustancias. Por ejemplo, un científico podría decir que la concentración de arsénico está en el rango de cientos de partes por millón (ppm). Esto ^ ~ significa que por cada millón de "partes" de agua se encuentran 0.01 partes de arsénico. Por ejemplo, podría decir que por cada 1 kg de agua, podría encontrar aproximadamente 0,01 mg de arsénico (1 kg = 1.000.000 mg). Escribamos la comparación como una proporción.

Ahora expresemos el numerador y el denominador en notación científica:

Dividiendo obtenemos:

Ahora podemos decir que la cantidad de arsénico es ocho órdenes de magnitud menor que la cantidad de agua.

Ejemplo: todas las criaturas grandes y pequeñas

Volvamos a la ballena azul y el plancton mencionados al comienzo de este módulo. La ballena azul es la criatura más grande que jamás haya habitado el planeta y, sin embargo, comparte el océano con uno de los más pequeños, el plancton, una criatura que apenas representa una pequeña mancha en el océano. Una ballena azul promedio pesa aproximadamente 190.000 kilogramos, mientras que un solo plancton pesa apenas 0,5 miligramos. Para expresar estos ^ ~ pesos en las mismas unidades (si necesita ayuda con las conversiones métricas, consulte nuestro módulo Sistema métrico ) podemos decir que una ballena azul pesa 190.000.000.000 mg o 1,9 x 10 ¹¹ mg y un plancton pesa 0,5 mg o 5 x 10 ^-1 mg.

Comparando estas dos habitantes del océano obtenemos:

Por tanto, la ballena es 10 ¹¹ , ¡o 100.000.000.000 de veces más grande que el plancton!

Conclusión

La notación científica y el orden de magnitud son conceptos fundamentales en todas las ramas de la ciencia. El orden de magnitud nos permite estimar rápidamente el tamaño de algo o la diferencia de medida entre dos cosas expresándolo como una potencia de diez. Con la práctica, expresar números en notación científica proporciona una manera rápida y fácil de comparar, multiplicar y dividir números. Estos conceptos son especialmente útiles cuando se comparan medidas muy grandes y muy pequeñas, como el ^ ~ peso de un átomo, la distancia a una estrella o la longitud de un diminuto habitante del océano microscópico.