La Conversión de Unidades: _{El análisis dimensional}

Análisis dimensional

Generalmente, las conversiones de unidades se resuelven más fácilmente usando un proceso llamado análisis dimensional, también conocido como el método del factor unitario. Una excepción notable es la conversión entre las unidades de temperatura (vea nuestro módulo La temperatura para más detalles). El análisis dimensional usa tres hechos fundamentales como pasos en este proceso para realizar las conversiones. Los tres pasos son:

1. Un factor de conversión es un enunciado de la relación equivalente entre dos unidades. El primer paso en el análisis dimensional requiere, por lo tanto, la identificación del factor o de los factores que se necesitan para la conversión. En el problema del huevo, el enunciado "1 docena de huevos = 12 huevos", es un factor de conversión.

2. Si se multiplican por un factor de conversión en la forma de ecuación, como, $\frac{\text{12 huevos}}{\text{1 docena de huevos}}$ o $\frac{\text{1 docena de huevos}}{\text{12 huevos}}$, en realidad, se están multiplicando solamente por 1, puesto que las dos partes de la ecuación son iguales. El segundo paso en el análisis dimensional es, por lo tanto, componer un problema matemático que usa uno o más factores de conversión para alcanzar las unidades que se pretenden. En el problema del huevo, si hay dos docenas de huevos y se quiere saber cuántos huevos individuales se tienen, habría que componer el problema de esta manera:

El segundo paso en el análisis dimensional es, por lo tanto, establecer un problema matemático que utilice uno o más factores de conversión para llegar a las unidades que le interesan. En el problema del huevo, si tiene 2 docenas de huevos y quiere saber cómo muchos huevos individuales que tiene, podría configurar el problema de la siguiente manera:

3. Las unidades, como los números o variables, se cancelan cuando se dividen por sí mismos. Así que el último paso en el análisis dimensional es trabajar en el problema matemático que se ha compuesto, a medida que se van cancelando las unidades. En el ejemplo del huevo, la "docena de huevos" en la parte inferior de la ecuación cancela "la docena de huevos" en el número original, lo que deja a los "huevos" como la única unidad en el problema, como se muestra en la respuesta final, 24 huevos.

Podemos aplicar estos pasos a un problema un poco más complejo que el conteo de huevos. ¿Cuánto dinero costaría llenar un tanque de gasolina de 23 galones de un camión si ésta cuesta $2.87 por galón?

1. $\text{Factor de conversión: debido al precio, se puede decir que 1 galón = \$2.87.}$
2. $23\text{gal}\times <!--\; \times \; -->\frac{\$2.87}{\text{1 gal}}=x$
3. $23\text{g̶a̶l̶}\times <!--\; \times \; -->\frac{\$2.87}{\text{1 g̶a̶l̶}}=\$66.01$

Primero, cree el factor de conversión. Dado el precio, puede decir 1 galón = $ 2,87. Luego, repase y configure las ecuaciones:

Ahora que se ha llenado el tanque, ¡hay que emprender un viaje a México! A medida que usted cruza la frontera de los Estados Unidos a México, nota que la velocidad máxima permitida es 100. ¡Increíble! ¿Puede apretar el acelerador o necesita más información? Por supuesto, hay muy pocos países fuera de los Estados Unidos donde se ve la velocidad en millas por hora, en casi todas partes está en kilómetros por hora. Así que usted necesita hacer conversiones para saber el límite de velocidad permitido en una unidad que usted comprenda.

Lo primero que hay que hacer es definir lo que quiere decir en términos matemáticos "100 kilómetros por hora". El "por" quiere decir que el número es una proporción: 100 kilómetros de distancia por 1 hora de tiempo. Además, se necesita saber el factor de conversión entre kilómetros y millas, a saber, 1 milla = 1.61 kilómetros. Ahora la ecuación es muy sencilla. Inténtelo y después vea la siguiente animación para descubrir la fórmula matemática que se necesitan para resolver el problema.

Conversiones de unidades múltiples

Hasta aquí hemos visto ejemplos con un único factor de conversión, pero este método puede usarse para situaciones más complejas. Cuando es hora de volver a casa después del viaje a México, usted se da cuenta que el tanque tiene lo mínimo para cruzar la frontera y pode llenarlo en los Estados Unidos. Usted ve que puede comprar gasolina por 6.50 pesos por litro antes de partir. A primera vista parece ser más caro que los $2.87 por galón que cuesta en Estados Unidos, pero ¿es así? Necesita hacer una conversión para estar seguro de esto. Afortunadamente, viene preparado y, antes de salir de su casa, ha averiguado la tasa de cambio de la moneda (1 peso = 8.95 centavos) y el volumen de conversión (1 galón = 3.79 litros).

Esta conversión es más complicada que las anteriores por dos razones. Primero, imagine que no tiene un factor de conversión directo y único para la conversión monetaria (pesos a dólares). Sabe que 1 peso = 8.95 centavos y que 100 centavos = 1 dólar. Estas dos informaciones le permitirán convertir el dinero. Lo segundo es que no solamente se está cambiando la unidad monetaria, también necesita convertir la unidad de volumen. Estas dos conversiones pueden realizarse en una ecuación . El orden no importa, pero hay que hacer ambas. Intente realizarlas y después vea la animación para descubrir la respuesta:

Observe que cuando se arregla correctamente, hay que poner la "L" arriba de la barra de división en el factor de conversión para cancelar la "L" debajo de la barra en el número original. También observe que aunque los términos "L" están separados por dos factores de conversión, se siguen cancelando. Ahora es más fácil decidir si quiere llenar el tanque en México o en Estados Unidos.

Puede comprobar que no se necesita ser un ingeniero de la NASA para usar el análisis dimensional. Hay que convertir unidades en la vida cotidiana (por ejemplo, para planificar el aumento de la gasolina) y en las aplicaciones científicas, como para la estoiquiometría en la química y para el cálculo de los movimientos de placas en la geología. Si usted sabe qué unidades va a utilizar y en qué unidades quiere su respuesta, no necesita memorizar una fórmula. Si los equipos que trabajan en la Orbitador Climático de Marte se hubiesen dado cuenta que tenían que seguir estos pasos, actualmente estaríamos recibiendo informes climáticos de Marte.